Aufgaben


\(\\\)

“Papierflieger”

Gegeben ist die Schar der Funktionen \(f_r\) mit

\( \quad f_r(x) = -\frac{1}{r} \cdot x^2 + \frac{4}{r} \cdot x + 2 \quad , \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad r \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \)

\(\\[2em]\)

Kurvenuntersuchung

  1. Skizzieren Sie in einem Koordinatensystem den Graphen von \(f_6\) über dem Intervall [-3;7].

    (2 P)

  2. Betrachtet wird der folgende Term:

\( \qquad \displaystyle{\int_{-2}^0 f_6(x)dx + 4 \cdot 2 + \int_{4}^6 f_6(x)dx} \)

Markieren Sie in ihrer Skizze zur 1. Teilaufgabe ein Flächenstück, dessen Inhalt mit dem gegebenen Term berechnet werden kann, und ordnen Sie jedem Summanden des Terms einen passenden Teil des Flächenstücks zu. Geben Sie den Inhalt des Flächenstücks an.

(4 P)

\(\\\)

  1. Zeigen Sie, dass jede Funktion der Schar an der Stelle 2 ein Extremum hat.Geben Sie in Abhängigkeit von \(r\) an, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt, und nennen Sie den zugehörigen Funktionswert.

    (4 P)

\(\\\)

  1. Ermitteln Sie die Anzahl der Nullstellen von \(f_r\) in Abhängigkeit von \(r\).

    (4 P)

\(\\[1em]\)

Flächen

Für \(r>-2\) und \(r \not= 0\) sind

\( \quad A_r(2 - \sqrt{4+2r}|0) , \quad B_r(2 + \sqrt{4+2r}|0) \hspace{3pt} \quad \text{und} \quad C(4|2) \)

\(\\\) Punkte des Graphen von \(f_r\).

\(\\\)

  1. Es soll untersucht werden, für welche Werte von \(r\) das Dreieck \(A_rB_rC\) einen rechten Winkel bei \(C\) hat.

Jeder der beiden folgenden Ansätze liefert die gesuchten Werte von \(r\) :

\( \qquad \begin{align} (1) & \quad \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\sqrt{4+2r}-2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \sqrt{4+2r}-2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = 0 \end{align} \)

\( \qquad \begin{align} (2) & \quad \frac{2}{2 + \sqrt{4+2r}} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{4+2r}} =-1 \end{align} \)

Erläutern Sie die beiden Ansätze und geben Sie einen entsprechenden Wert für \(r\) an.

(5 P)

\(\\\)

  1. Der Graph der Funktion \(f_r\) schließt gemeinsam mit der \(x\)-Achse eine Fläche \(F_r\) ein.
    Ermitteln Sie einen Wert für \(r\), für den der Flächeninhalt der Fläche \(F_r\) viermal so groß ist wie der Flächeninhalt des Dreiecks \(A_rB_rC\).

    (3 P)

\(\\[1em]\)

Parabelflug

Im Folgenden sollen für den Flug von Papierfliegern drei mögliche Typen von Flugkurven betrachtet werden. Diese sind in der Abbildung schematisch dargestellt.

my image

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen \(x\)-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen \(y\)-Achse durch den Abwurfpunkt \(A\) verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Der \(x\)-Wert soll im Folgenden der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt \(A\) entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

\(\\\) Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ \(P\). Diese kann für \(x \geq 0\) mithilfe der Funktion \(f_4\) beschrieben werden.
Weisen Sie nach, dass die Flugweite etwa 5,46 m beträgt.

(2 P)

\(\\[1em]\)

Sturzflug

Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich entlang einer Flugkurve des Typs \(S\) bewegt. Diese kann im ersten Teil mit Hilfe der Funktion \(f_4\) beschrieben werden, im zweiten Teil ab einer horizontalen Entfernung von 0,5 m vom Abwurfpunkt mithilfe einer Funktion \(s\) mit

\( \quad s(x) = \frac{a}{x-1.5} + b \quad \text{und} \quad a, b \in \mathbb{R}. \)

Dabei weist die Flugkurve bis zum höchsten Punkt keinen Knick auf. Der Papierflieger steigt, bis er einen Steigungswinkel mit einer Größe von 85°C erreicht und stürzt dann vertikal ab.

  1. Bestimmen Sie die Werte a und b.

    (3 P)

Im Folgenden ist \(a=-0{,}75\) und \(b=1{,}6875\).

  1. Berechnen Sie die horizontale Entfernung \(e\) vom Abwurfpunkt, in der der Papierflieger den Steigungswinkel mit einer Größe 85°C erreicht.

\( \qquad \left[\text{zur Kontrolle: }e \approx 1,24\right] \)

(3 P)

  1. Ist ein Kurvenstück Graph einer in \([x_0;x_1]\) mit \(x_0 \; {,} \; x_1 \in \mathbb{R}\) definierten Funktion \(h\) mit erster Ableitungsfunktion \(h'\), so gilt für die Länge \(L\) des Kurvenstücks:

\( \qquad L = \displaystyle{\int_{x_0}^{x_1} =\sqrt{1+\big( h'(x) \big)^2 dx}} \)

Ermitteln Sie die Länge der beschriebenen Flugkurve vom Typ \(S\).

(5 P)

\(\\[1em]\)

Flugkurve G

Die größten Flugweiten erzielen Papierflieger mit der Flugkurve des Typs \(G\). Eine solche Flugkurve lässt sich im ersten Teil mithilfe der Funktion \(f_4\) beschreiben. Ab einem bestimmten Punkt kann der weitere Verlauf der Flugkurve bis zum Boden durch eine Gerade dargestellt werden. Der Übergang vom ersten zum zweiten Teil der Flugkurve erfolgt ohne Knick. Die Flugweite beträgt 17,6 m.

Ermitteln Sie, in welcher Höhe der gekrümmte Teil der Flugkurve in den geradlinigen übergeht.

(5 P)

\(\\[1em]\)